Los conjuntos son una pesadilla

Existen muchas palabras peligrosas, pues al decirlas uno entra en un curso de acciones que se convierten en destino. Quizá la peor de todas sea la sencillísima palabra “sí”; con ella se abren innumerables consecuencias, y otro tanto ocurre con su contraparte la palabra “no”: ¿de cuánto nos hemos salvado o privado por haber, alguna vez, respondido no? De afirmaciones y negaciones se van armando nuestras vidas y, en buena medida, lo que somos, lo que nos ha pasado, lo que hemos conseguido y perdido dependió, finalmente, del momento en el que negamos o asentimos.

Hoy sin embargo, quisiera referirme a una palabra que engendra infinidad de problemas insolubles, tanto en el mundo real como en el mundo formal: la palabra “todos”; con ella, los matemáticos encuentran los conjuntos y con ella las sociedades democráticas se fundan.

Cuando un matemático dice “todos”, pensando en alguna característica, construye un conjunto: todos los números nones, todos primos, por ejemplo. Ser non o ser primo es la característica que permite reunir en un conjunto a los elementos que posean dicha característica. Cuando se tiene ya un conjunto parece inevitable pensar en el conjunto que contiene a todos los conjuntos, no solo el de los nones y los primos, sino, por ejemplo, el conjunto de todos los objetos matemáticos: pongámosle por nombre: conjunto omniabarcador. Y el problema comienza aquí, precisamente, cuando uno se pregunta si ese conjunto omniabarcador se incluye o no a sí mismo, pues sí en él está todo conjunto y el conjunto omniabarcador es un conjunto parecería necesario que tuviera que estar también incluido dentro de sí mismo, o sea que se provoca una autorreferencia. Lo cual genera paradojas como lo ilustra la gesta que pasa por Cantor, Frege, Russell y Gödel.

Para ilustrar la paradoja de la autorreferencia, piénsese en el conjunto de todos los sustantivos: casa, árbol, piedra... y todos los que contiene el diccionario de la RAE (¿estaremos de acuerdo que son muchísimos pero no infinitos, verdad? Pero, y este pero es importante, como uno de los sustantivos es también la palabra “sustantivo”, no podemos contar cuantos hay, pues en el conjunto de los sustantivos se subcontiene y hay que contar también los de este subconjunto que a su vez contiene un sub-sub-conjunto y así hasta el infinito.

Y sin embargo, son más difíciles aún los problemas cuando la inocente palabra “todos” es empleada en el mundo social, pues en éste no solo se rompe la lógica, como ocurre en el mundo formal cuando aparecen paradojas, sino se rompe la sociedad misma. Pongamos un ejemplo clásico: “todas las opiniones son respetables o, si se prefiere, válidas”; esta afirmación, típica de una ideología democrática y tolerante, parecería correcta, pues, ¿qué mejor forma de convivencia hay que aquella en la que todos, sin excepción, gocen de libertad de expresión? Sin embargo, al abrir de par en par las puertas con ese “todos”, se incorpora, precisamente, a quienes opinan lo contrario, a quienes piensan que no todos deben opinar e incluso a quienes piensan que solo ellos pueden opinar: proponer que “todos”, por lo visto, incluye a los elementos que pretender destruir a la totalidad.

En los conjuntos reales no solo se genera una paradoja del tipo: “sí todas las verdades son relativas, entonces ¿esta afirmación es una verdad relativa o absoluta?, sino una contradicción que amenaza con destruir la pretendida totalidad”. Al parecer en el mundo real, la inclusión de todos arma un conjunto donde se encuentran el 1 y el menos 1, el 2 y el menos 2... y como los positivos y los negativos se anulan, cuando están todos no queda nadie. En conclusión, la palabra “todos” es una pesadilla en todos los mundos...