La compleja ciencia de partir pasteles equitativamente

La división de pasteles es una metáfora para una amplia gama de problemas del mundo real que implican dividir un objeto continuo, ya sea un pastel o, por ejemplo, el terreno de la abuela, entre personas que valoran sus características de manera diferente. En el caso del pastel, una persona puede anhelar el glaseado de chocolate, mientras que otra tiene su interés en el fondant.

La gente ha sabido al menos desde tiempos inmemorables que hay una forma de dividir ese objeto entre dos personas para que ninguna envidie a la otra: una persona corta el pastel en dos trozos que valora por igual, y la otra persona elige su trozo favorito. Sin embargo, este método de división justa sin envidias no toma en consideración preferencias individuales.

El problema de dividir un recurso escaso de manera justa entre varias personas tiene raíces antiguas. Incluso en la Biblia, en el libro de Génesis, se menciona un método para dividir la tierra de manera justa entre Abraham y Lot. Este método se conoce como “yo corto, tú eliges”. Un individuo divide el recurso en partes y el otro elige la parte que prefiere.

A medida que las matemáticas y la teoría de juegos evolucionaron, los matemáticos comenzaron a abordar este problema de manera más formal. En la década de 1960, los matemáticos John Selfridge y John Conway desarrollaron un método para dividir un pastel entre tres personas de manera que cada una considerara su porción como justa. Este método se basa en un proceso en el que un jugador corta el pastel en tres partes iguales según su propia valoración subjetiva, y luego los otros jugadores eligen sus porciones favoritas. Si los jugadores tienen preferencias diferentes, la división se considera justa. Si no, se realizan ajustes hasta que se llega a una división que todos aceptan.

A pesar de la existencia de un algoritmo eficiente para tres personas, dividir un pastel de manera justa entre más de tres personas resultó ser un problema mucho más complejo. Los matemáticos trabajaron en algoritmos que fueran eficientes y garantizaran la división justa, pero la mayoría de los métodos desarrollados eran ineficientes o requerían un número excesivo de pasos, lo que los hacía poco prácticos.

En años recientes, los científicos de la computación Haris Aziz y Simon Mackenzie han logrado avances significativos en el problema de la división justa. Han desarrollado un algoritmo que, aunque complejo, es eficiente y garantiza una división justa para cualquier número de jugadores. Este logro ha sido considerado un avance importante en la teoría de la división justa.

El algoritmo comienza con un pastel completo que debe dividirse entre un grupo de jugadores que tienen preferencias subjetivas sobre las diferentes porciones del pastel. El proceso se inicia con uno de los jugadores seleccionados al azar, al que llamaremos jugador A, cortando el pastel en partes que considera iguales en valor desde su perspectiva. Esta división inicial refleja la subjetividad de las preferencias de los jugadores y establece una base para el proceso de elección.

Cada jugador, uno por uno, elige su porción favorita del pastel entre las porciones disponibles. Si los jugadores tienen preferencias diferentes y eligen diferentes porciones, entonces la división se considera justa, y se concluye el proceso en ese punto. Sin embargo, si dos o más jugadores tienen la misma preferencia y eligen la misma porción, el algoritmo entra en una fase de ajuste.

Durante esta fase de ajuste, el siguiente jugador en la secuencia, jugador B, realiza un pequeño recorte en la porción que eligió en la primera ronda. Este recorte se reserva para más adelante y se utiliza para resolver las preferencias iguales entre los jugadores. Luego, los jugadores que aún no han elegido (es decir, aquellos que no eligieron en la primera ronda) tienen la oportunidad de elegir su porción favorita entre las disponibles.

Si el jugador B no eligió la porción recortada en esta segunda ronda, se le asigna automáticamente, lo que asegura que no se sienta envidia hacia las porciones de los demás. Después de completar este proceso, se distribuyen los recortes realizados durante la fase de ajuste entre los jugadores restantes de manera que cada jugador reciba una porción adicional en función de sus preferencias.

El concepto clave en este algoritmo es la noción de “dominación”, que significa que un jugador está dispuesto a aceptar ciertas porciones siempre que las que obtenga sean igualmente valiosas o incluso más valiosas según sus preferencias. Esto permite que el algoritmo resuelva las posibles envidias entre los jugadores y garantiza una división justa que refleja las preferencias individuales de cada uno.

Si bien el algoritmo puede ser bastante complejo y puede requerir un número significativo de pasos, lo que lo hace poco práctico para ciertas aplicaciones, ha sido considerado un avance importante en la teoría de la división justa. Además, ha inspirado investigaciones adicionales con el objetivo de simplificarlo y hacerlo más eficiente, lo que podría tener aplicaciones en situaciones prácticas donde la división justa es un objetivo importante.

Esta solución eficiente puede tener aplicaciones en situaciones del mundo real donde la equidad y la justicia son fundamentales. Dividir un recurso de manera justa entre un grupo de personas con preferencias subjetivas siempre ha sido un problema al cual todos nos hemos enfrentado. Esta contribución fortalece el campo de estudio y amplía nuestro entendimiento de los problemas de división justa.